Тензоры. Что может быть проще? - страница 11

Какой мы теперь делаем вывод из всего этого? Тензор напряжений – это единственный способ корректно описать, как силы распределены по всем направлениям и площадкам в точке материала. Простое сложение компонент:

– смешивает разнородные величины (нормальные и касательные напряжения);

– игнорирует зависимость напряжений от ориентации;

– нарушает законы физики (например, парность касательных напряжений).

Можно привести простую аналогию: Представьте, что тензор – это палитра художника, где каждый цвет (компонент напряжения) отвечает за определённый оттенок. Если смешать все краски в кучу, получится грязно-коричневая масса. Только используя цвета по правилам (тензорный формализм), можно создать точную картину напряжённого состояния.

Давайте теперь задумаемся над тем, почему тензора напряжения как совокупности трёх векторов достаточно для описания вообще всех мыслимых и немыслимых напряжений в теле? Всего три вектора, приставленных к трём площадкам, могут решить любой вопрос.

Для этого анализа давайте вспомним доступные нам операции. Мы можем записать три вектора напряжений, приложенных каждый к своей ориентированной площадке, в виде прямоугольной таблицы из девяти компонент, называемой матрицей. Матрицы могут умножаться на другие матрицы, и в частности на матрицы-строки и матрицы-столбцы.

Матрицы умножаются так.

Если из элементов матрицы составить некоторые алгебраические комбинации, то мы можем получить так называемые инварианты – величины, которые будут неизменны при переходе к другой системе координат. На всякий случай напомним, что матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Умножаясь на вектор справа или на ковектор слева, они дают тот же тип объекта (вектор и ковектор соответственно) и в этом смысле являются операторами. То есть объектами, которые преобразуют вектора, превращая их в другие вектора. Матрица – это оператор, то есть превращатель. Если вектора, на которые воздействуем, мы стали рассматривать в новом базисе, то и превращатель разумно тоже рассмотреть с новой точки зрения – из нового же базиса!

Инварианты матрицы: I1 – след,

I2 – вторая симметрическая сумма,

I3 – детерминант.

У вектора при смене базиса не меняется его «длина» или, как её называют в более абстрактном случае, норма. У матрицы тоже есть несколько типов инвариантов. Это её след – сумма диагональных элементов, определитель (детерминант) и сумма главных миноров второго порядка (или вторая симметрическая сумма). Инварианты – это «душа» матрицы. Они остаются неизменными, даже если вы смотрите на объект под разными углами. Как говорил математик Герман Вейль: «Инварианты – это то, что остаётся, когда всё остальное ушло».

Как эти математические действия помогут нам получать информацию из тензора напряжений? Ну, во-первых, сразу видно, что вместо одной длины вектора у нас есть три каких-то инварианта! Каждый из них наверняка расскажет нам о чём-то своём, специфическом именно ему качестве. Во-вторых, матрица оказалась неким преобразователем, который, беря направление (вектор), видоизменяет его. И по деяниям такого оператора можно смело делать выводы о внутренней структуре, закодированной матрицей, олицетворяющей наш тензор напряжений.

Разложение тензора напряжений на компоненты.

Так почему же трёх векторов тензора хватает для описания напряжений в любом направлении? Всё просто. Тензор напряжений – это не просто три вектора, а математический оператор, который кодирует правила преобразования напряжений при изменении ориентации площадки. Вот как это работает. Три вектора – это базис для всех возможных направлений. Каждый из трёх векторов тензора описывает напряжения на гранях кубика, ориентированных вдоль осей