Тензоры. Что может быть проще? - страница 9

Мир вокруг устроен порой весьма сложно. И для исчерпывающего описания явлений, с которыми сталкиваются человеки, одними стрелочками не обойтись. В этом разделе мы с вами естественным образом придём к такому объекту, как тензор. И уже опираясь на этот первый пример, сможем развить это понятие, увидев его элементы и в стрелочках, и в более сложных штуковинах.

Представьте, что вы – инженер XIX века, и ваша задача – рассчитать прочность моста. Вы знаете, что сила – это вектор: у неё есть направление и величина. «Отлично! – думаете вы. – Запишу все силы векторами и сложу их!» И тут приходит прозрение: чтобы описать, что происходит внутри материала, вектора недостаточно. Нужен объект, который хранит информацию не только о силе, но и о том, как она распределена по бесконечно малым площадкам, какие в них действуют напряжения. Так начинается история тензоров. Одним из первых примеров тензора ранга больше чем 1 (о рангах позже) был тензор напряжений. Собственно, само слово «тензор» происходит от латинского tensus, означающего «напряжённый».

Напряжение – это мера того, как частицы материала «общаются» друг с другом под нагрузкой. Представьте, что каждая частица – житель многоквартирного дома: Сосед сверху давит на неё (нормальное напряжение); сосед слева пытается выдернуть её с места с доворотом вокруг своей оси (касательное напряжение); и так с каждым из соседей что-то да происходит. Вектор может описать, например, суммарную силу, действующую на весь дом. Но чтобы понять, кто из его элементов кого конкретно толкает, нужна полная сводка по каждому элементу и уровню. Для этого инженеры придумали выделять бесконечно малый кубик материала и смотреть на силы, действующие на каждую из его шести граней.

Отдельно нужно прокомментировать понятие бесконечно малого кубика. Лейбницу и Ньютону часто предъявляли за подобные высказывания. Действительно, что такое бесконечно малый объём? Почему бесконечно малую величину вы иногда считаете не нолём и обращаетесь с ней как с параметром, а иногда отбрасываете как настоящий ноль? В качестве оправдания такого подхода Лейбниц говорил: «Прибавьте к горе песчинку. Вы можете её учитывать, считая частью горы, а можете не учитывать и пренебречь её параметрами в сравнении с величием горы – это и есть бесконечно малая». Исчисление бесконечно малых обогатило человечество колоссальными инженерными достижениями ещё до того, как было переосмыслено и строго непротиворечиво обосновано в трудах Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса и других математиков. Это теория пределов и всё то, что вам рассказывают на матанализе. В физике бесконечно малыми считаются реальные (не бесконечно малые!) величины, которые малы в сравнении с другими параметрами системы. Их игнорируют, если их вклад в результат незначителен. Хотя с точки зрения математики с ними работают как в классическом матанализе.

Итак. Представим себе некоторое тело и какой-то маленький элемент внутри него.

Напряжения возникают в теле при его нагружении (деформации, сжатии, скручивании) как реакция частиц на попытку внешних сил изменить их взаимное расположение. Эти внутренние силы сопротивления удерживают частицы от смещения.

В одной и той же точке материала напряжения могут различаться в зависимости от направления. Например, соседние частицы могут «давить» вдоль одной оси и «сдвигать» вдоль другой. В простых случаях, таких как растяжение или сжатие бруса, определить максимальные напряжения относительно легко. Однако при сложных нагрузках задача усложняется: требуется анализировать, как напряжения меняются при повороте условных площадок внутри материала.