Тензоры. Что может быть проще? - страница 8

Теперь давайте поиграемся с первой осью нашей системы координат и увеличим базисный вектор в два раза. Видно, что контравариантные компоненты при этом уменьшаются в эти же самые два раза. Контравариантная метка компоненты теперь отсчитывает вдвое меньше базисных масштабов из-за увеличения длины масштаба. Как и должно быть!

А вот ковариантная метка как была воткнута в ось перпендикулярно ей, так и не поменяла своего места. Но зато базисный ковектор увеличил свою плотность в два раза. А значит, численно он увеличивает цену этого же отрезка вдвое! Опять в точку!

Теперь мы можем посмотреть и на другой способ преобразования наших координат – поворот. Две оси поворачивать скучно. Для большей наглядности и информативности давайте чисто визуально в виде стоп-кадров заценим, как по-разному будут вести себя контравариантные и ковариантные компоненты стрелки, если поворачивать, допустим, на этот раз вторую ось.

Пусть изначально оси координат будут ортогональны друг к другу. Затем будем наклонять вертикальную ось вправо-вниз. В этом случае ковариантная компонента неподвижной оси вообще не меняется, а для поворачивающейся следует за изменением её направления, оставаясь всего лишь послушной тенью.

Покорное следование ковариантных компонент, и изворотливость контравариантных!

При этом обе контравариантные компоненты вытворяют пируэты. Даже та, что относится к неподвижной оси. Они делают всё, чтобы из видоизменённых контравариантных компонент можно было бы собрать тот самый исходный вектор.

И вот уже это наблюдение наталкивает нас ещё на одну мысль. Мы можем ковариантные компоненты описать в терминах скалярного произведения стрелки на базисные векторы! Это даст ещё одну алгебраическую интерпретацию и методику вычисления ковариантных компонент.

Итак, наши контравариантные компоненты – это просто коэффициенты, стоящие перед базисными векторами в разложении нашего вектора.

Алгебраически наглядное преобразование ковариантных компонент вектора.

Ковариантные компоненты – это скалярное произведение нашего вектора на базисные вектора. По сути, проекции, тени. Поэтому, когда базис меняется, эти проекции тоже меняются в сторону, следующую за изменением базиса. Только и всего.

Можем для примера вычислить их и увидеть, как масштабные множители, изменившие базис, выносятся, кое-где сокращаются и в итоге дают получить в точности тот результат, который нужен.

Итак, подытожим. Мы с вами увидели, что есть величины, имеющие направление и интенсивность (длину, плотность) как вещи в себе. Их можно мыслить как некие инвариантные объекты, которые, тем не менее, можно представлять разными типами компонент. Компоненты в зависимости от типа преобразуются по-разному. Для каких-то из этих величин ковариантное представление более естественно, для других – контравариантное. Но в силу взаимной однозначности таких представлений нас это волновать уже не должно. Мы научились оперировать с каждым типом компонент как с самостоятельным геометрическим объектом. Получили два вида представления направленных объектов в виде векторов и ковекторов. Что из этого использовать – зависит от задачи. Мы увидели ясно, почему происходит такое разделение. Когда вы движетесь к двери, она движется в противоположную сторону – к вам.

Контравариантность – это дверь, которая «бежит» к вам, когда вы идёте к ней. Ковариантность – это ваши шаги, которые гарантируют: чем больше вы их делаете (в направлении двери), тем ближе она становится. Что может быть проще?