Тензоры. Что может быть проще? - страница 6

В связи со всем этим ковекторы можно называть полноценными дуальными объектами. Обычно это обозначают, ставя звёздочку у соответствующего множества (пространства) V векторов, намекая на то, что это уже пространство дуальных к ним ковекторов V*.

Напомним, что есть такая штука, как линейное векторное пространство. Это когда у вас есть куча объектов, которые можно складывать и умножать на числа. Главное, чтобы эти операции можно было менять местами (коммутативность), чтобы они не зависели от порядка выполнения (ассоциативность) и чтобы в наборе имелись ноль и единица. При этом сами объекты могут быть любыми: не только векторы, но и матрицы, функции или ковекторы.

Базисные ковекторы и разложение по ним.

Но раз ковекторы дуальны векторам, а векторы имеют компоненты в некотором базисе, то и для ковекторов можно ввести базис. В качестве такового можно взять любые линейно независимые ковекторы. То есть набор таких ковекторов, каждый из которых нельзя выразить как комбинацию остальных. Линейная независимость является расширением понятия неколлинеарности и некомпланарности на случай большего числа измерений, чем 2 и 3. Но если у нас есть ортонормированный базис векторов, каждый из которых имеет единичную длину и ортогонален остальным, то ему можно сопоставить дуальный, или, как ещё говорят, сопряжённый базис. Он будет уникален для каждого такого набора базисных векторов. Для его получения выбирают такие ковекторы, которые, съедая базисные векторы, выдают в качестве значения либо ноль, либо единицу. Выбрав такие объекты, мы сможем разложить любой ковектор как линейную комбинацию базисных.

Каждый раз, когда имеешь дело с дуальными объектами, невольно задумываешься, чем обусловлена сама эта дуальность. Вспоминаются поговорки про две стороны одной медали и прочие народные премудрости. Не единая ли сущность предстала перед тобой в разных обликах? Что ж, многие знания – многие печали. И на наших новых дуальных знакомых, векторах и ковекторах, нам придётся посмотреть с этой же стороны. А значит, нам придётся опять творить, изощряться и выкручиваться, переводя на корректный и удобный математический язык новые наблюдательные данные.

А поразмыслить действительно есть над чем. Сегодня мы знаем, что по второму закону Ньютона сила является произведением импульса по времени. А значит, по нашей с вами уже установленной классификации сила должна являться вектором. Контравариантным объектом, как и скорость. Если вы решаете задачу о движении тела под действием силы тяжести, то вы можете её найти как производную импульса. Эта операция оставляет контравариантный объект контравариантным. С другой стороны, эту же самую силу можно найти как градиент некоего скалярного поля – гравитационного потенциала. Таким образом, сила предстаёт перед нами классическим ковектором. Но как же так? Не можем же мы приравнять вектор ковектору? Это совершенно разные объекты, хоть и дуальные.

Сила – вектор или ковектор?

Но такова жизнь, и так устроен мир. Придётся принять сей факт и как-то разбираться и с этим. Вышеописанные наблюдения заставляют нас признать следующее: такой объект, как сила, может быть описан и как вектор, и как ковектор. А значит, это единый объект, проявляющий в определённых обстоятельствах одни свойства, а в других – иные. Нам лишь остаётся смириться с этим и, апеллируя к философии дуальности, придумать, как вектору сопоставить ковариантные компоненты, а ковектору – контравариантные.