Тензоры. Что может быть проще? - страница 5

Научившись использовать ковектор как функцию и узнав о линейности таковой, давайте попробуем опять понять её геометрический вид, забыв о том, что нам уже известно.

Функция в двух измерениях и способ картографов.

Мы знаем, что обычные векторы мы можем представить в виде стрелок. Но для визуализации функций это не очень удобно. Для геометрической интерпретации конкретного ковектора логично было бы выбрать какой-то один из них и позволить ему воздействовать на любые вектора. Так по деяниям его поймём суть его… Итак, фиксируем ковектор с конкретными компонентами в виде чисел, например [2;1]. А в качестве вектора берём столбец с двумя компонентами x и y, которые могут меняться. Таким образом, мы смотрим на ковектор как на функцию двух этих переменных (x и y). Как мы можем визуализировать функцию от двух переменных, которая выдаёт одно число? Ну что ж. Это очень похоже на проблему, с которой сталкиваются картографы, когда они хотят передать рельеф местности на двухмерном листе бумаги. Когда у вас есть топографическая карта, то вам в основном нужно показать склоны гор и долины, но только с помощью двух измерений. Вот что в этом случае делают топографы: они берут карту и рисуют на ней кривые с постоянной высотой. Так что, просто взглянув на эту карту, мы понимаем, что когда линии идут часто, то склон более крутой. Там же, где линии менее плотные, там местность более пологая, потому что высота меняется не так быстро. Удобно и наглядно! Правда? Так что давайте возьмём и используем эту идею. Возьмём наш ковектор как функцию и спросим себя, где она равна нолю. Спросить в математике означает просто приравнять к нолю нужное выражение, а потом уже угадать недостающие данные. Приравняв наш ковектор, «скушавший» вектор, к нолю, мы получим уравнение на x и y. Оно линейное, и значит, задаёт на плоскости прямую. Теперь спросим себя, где наша функция равна 1, 2, -1, -2 и всем остальным значениям. В итоге мы получим стопку одномерных поверхностей, прямых! Всё в точности как в нашей прежней геометрической интерпретации!

Построение ковектора в двухмерном случае.

Обратите внимание, поскольку наши стопки увеличиваются вверх и вправо, мы можем добавить сюда маленькие стрелочки, как это делали раньше, указав положительное направления для «линий уровня». Всё вышло так, как мы и предположили в прошлых наших рассуждениях. Но это ещё не все приятности! Мы можем научиться воздействовать ковектором на вектор совершенно без алгебраических вычислений, глядя на их чисто геометрическое взаимодействие.

При этом для такого взаимодействия векторов и ковекторов нам не нужно ничего знать о системах координат и компонентах. Мы чертим их на плоскости и смотрим, какое количество стопок пробивает вектор и в каком направлении он это делает. Это количество пройденных насквозь линий и является значением функции ковектора на данном векторе. Если направление вектора и ковектора противоположны, то значение функции будет отрицательным, если вектор идёт вдоль линии ковектора, то он не пробивает ни одной из них, а значит, значение равно нолю.

Взаимодействие векторов и ковекторов демонстрируют линейность этих объектов как функций и оправдывают название «дуальных объектов».

Легко в этой интерпретации узреть и линейность данного рода взаимодействий. Всё в точности как в алгебраических формулах, те же результаты для ковекторов и векторов с заданными компонентами. Умножение ковектора на число приводит к увеличению плотности линий, и, поглощая вектор, он вызывает пробитие стрелкой иного количества линий, что приводит к иному результату. Отлично работает и описанное нами ранее геометрическое сложение ковекторов. Непосредственно и наглядно давая полученные из алгебры строк и столбцов результаты.