Тензоры. Что может быть проще? - страница 4

Сложение ковекторов и умножение ковектора на число.

Мы умеем умножать вектор на число. Вектор при этом увеличивается в длине, если число больше единицы, и уменьшается, если оно меньше. Если число отрицательное, то вектор поменяет своё направление стрелочки на противоположное. С ковекторами выполняется в точности как у векторов лишь последний пункт. Если мы ковектор умножим на отрицательное число, он поменяет своё направление. В остальном ситуация иная. Умножение ковектора на число приводит к тому, что у него кратно этому числу возрастает плотность линий. Если число больше единицы, то ковектор становится более плотным, если число меньше единицы, то линии становятся более редкими пропорционально числу.

Чисто алгебраически ковекторы удобно обозначать как матрицы-строки. При этом мы складываем и умножаем на числа эти строки фактически так же как и векторы, записываемые матрицами-столбцами.

Итак, на данный момент что мы имеем? У нас есть два типа объектов, имеющих направление. Над ними можно производить операции сложения и умножения на число (скаляр). Векторы при этом меняют длину, а ковекторы – свою «плотность». Векторы изображаются как столбцы из их компонент, а ковекторы – как строки. Глядя на чисто алгебраическую запись этих объектов в виде строк и столбцов, вы можете подумать, что это всё не так уж и сложно. Что это просто перевёрнутые числовые массивы, превращающиеся друг в друга «транспонированием». Верно? Но это оптическая и смысловая иллюзия! Всё же матрицы-строки и матрицы-столбцы – это принципиально разные типы объектов. И вы могли подумать, что они похожи, потому что вы работали с ними в ортонормированном базисе. То есть в базисе, где все базисные объекты имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу. И идея преобразования как простого переворачивания строки в столбец и наоборот в таких системах отсчёта действительно верна. В более общем случае абы какого базиса это уже не работает. Но данное наблюдение всё равно даёт нам возможность задуматься о том, не сопоставить ли нам эти объекты друг другу. Вы наверняка умеете перемножать матрицы. И знаете, что умножение строки, стоящей слева, на столбец справа даёт число. Значит, такое взаимодействие ковектора и вектора можно мыслить как отображение двух объектов в один. Или рассматривать ковектор как функцию, которая «съедает» вектор и даёт число. В математике такую «дружбу» называют дуальностью.

Давайте попробуем развить эту идею и посмотреть, что получится. Мы не рассмотрим ковекторы чисто как матрицы-строки, а как функции, «питающиеся» векторами и выдающие число. И уже исходя из этой идеи построим их геометрическую интерпретацию. Если данный подход приведёт к тому же самому геометрическому облику ковекторов, то можно это считать феерическим успехом, а себя – мега-мыслителем!

Ковектор как линейное отображение (функция), берущая вектор и сопоставляющая ему число.

Прежде всего стоит заметить, что ковектор олицетворяет собой линейную функцию. Это весьма удобно. С линейными функциями и операторами крайне просто обращаться. Вынося из-под них множители, не нужно их возводить в какую-то степень или делать ещё более хитрые операции. Проверить это можно непосредственным вычислением в общем виде. Берём сперва складываем вектора, а потом действуем на них ковектором, а потом сперва действуем на оба вектора ковектором и складываем результаты. Значение данного отображения в обоих случаях совпадёт. Так же проверяется и линейность при умножении ковектора на число. Сперва умножаем вектор на число, а затем «съедаем» его ковектором и сравниваем с тем, что получилось при противоположном порядке действий: поглощённый ковектором вектор, после преобразования его в число, умножаем на константу.