Тензоры. Что может быть проще? - страница 7

Что бы вы предприняли, обнаружив данную проблему, если бы были математиками-первооткрывателями? Иногда полезно самостоятельно попробовать решить проблему и поиграть в первопроходца. Это очень сильно углубляет понимание, и полученные потом знания остаются с вами навсегда, становясь частью вас.

Итак, у нас есть объект, который имеет направление, но иногда при смене координатного базиса удлиняется, а иногда увеличивает плотность, сохраняя свою как бы длину. Как и то, и другое приписать нашему направленному куда-то нечту? В вопросе, как всегда, содержится часть ответа. Описанное свойство говорит о том, что такая штука, как сила, имеет и те, и другие компоненты. И ковариантные, и контравариантные компоненты. А компоненты – это что? Это всего лишь определённые проекции. Поэтому мы можем поступить так. Будем представлять силу в виде более привычной нам стрелки и попробуем спроецировать её на оси координат двумя разными способами, и посмотрим, как эти два типа проекций меняются при смене базиса.

Для большей общности возьмём косоугольную систему координат. Проведём в ней некоторую абстрактную стрелку a. В таких системах координат базисные векторы друг другу не перпендикулярны, а расположены под острым или тупым углом. Но координатную сетку получают, проводя линии параллельно осям координат, задаваемым базисными векторами. Таким образом, просто опустим из начала и конца вектора линии на наши оси параллельно базисным векторам. Координаты нашей стрелки, полученные этим способом, как раз совпадают с тем, что мы изначально считали координатами вектора. Такие координаты мы называли контравариантными. Вспомните наш пример с карандашом, направленным на дверь. Все его разложения, приводимые в том примере, были как раз контравариантными компонентами карандаша в косоугольных базисах.

Чтобы получить ковариантные компоненты, нам нужно получить проекции вектора на базисные направления. Ведь именно проекция будет обладать нужным нам свойством – меняться согласованно с изменением самих базисных направлений и масштабов. Для получения ковариантных компонент нам нужно опустить перпендикуляры к нашим осям координат из начала и конца стрелки. Это и будут наши ковариантные компоненты, по сути проекции стрелки на базисные направления. Сразу становится понятным, почему раньше вы не задумывались о дуальной природе компонент вектора. В картезианской (прямоугольной системе координат, названной в честь Картезия, по-нашему – Де'Карта) контравариантные и ковариантные компоненты будут всегда совпадать!

Визуализация контравариантных и ковариантных компонент стрелки и их изменения при увеличении одного базисного вектора и ковектора на горизонтальной оси. Вторая ось и базисные величины на ней остаются неизменными. Штрихом отмечены величины после изменения.

Определившись со способом визуализации ковариантных и контравариантных компонент стрелки, самое время задуматься об обозначениях и утвердить их. Базисные векторы обозначают с индексом внизу. А контравариантные компоненты векторов с индексами вверху. Базисные ковекторы обозначают индексами вверху, а ковариантные компоненты обозначают индексами внизу. Это правило математики ввели, чтобы было удобнее раскладывать объекты на компоненты и дабы индексы были на разных уровнях. Тот факт, что индексы у контравариантных компонент находятся вверху, а у базисных векторов внизу, как бы намекает нам, что они преобразуются противоположным образом. Всё это облегчает восприятие, приятнее суммировать и вероятность запутаться меньше. Сплошные плюсы!