Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - страница 10

Достижимое множество портфелей является областью определения МО доходности портфеля как функции СКО доходности, т.е. . Данная зависимость задана уравнениями (1.8) и (1.9) и двумя условиями

Для анализа достижимых множеств портфелей воспользуемся, во–первых, методами аналитической геометрии, в соответствии с которой приведенные выше первые два уравнения в общем случае описывают кривую второго порядка, в частности гиперболу, заданную в параметрической форме. В некоторых случаях, как показано ниже, гипербола вырождается в точку или отрезок прямой.

Методы аналитической геометрии позволяют определить параметры гиперболы, а также обеспечивают возможность перехода описания достижимого множества портфелей от параметрической формы к более удобной аналитической форме представления зависимости .

Во–вторых, для определения минимального значения СКО доходности портфеля и соответствующих значений объёмов инвестирования воспользуемся известным в математическом анализе методом нахождения экстремума функции с использованием частных производных. В данном случае составляется система из уравнений, которые представляют собой приравненные к нулю частные производные функции

Решения данной системы уравнений относительно переменных с учётом условий и позволяют рассчитать границу достижимого множества и МО доходности портфеля с минимальным значением СКО доходности .

В–третьих, при относительно большом значении для определения достижимого множества целесообразно использовать численные методы, что обусловлено чрезмерно громоздкими конечными формулами, которые выводятся в рамках аналитической геометрии. Численные методы предполагают определение достижимого множества портфеля, например, путём последовательного перебора всех возможных сочетаний объёмов инвестирования в каждый актив при этом большое количество арифметических операций предопределяет необходимость использования вычислительной техники.

Методологически оправданным (от простого к сложному) является анализ специфики достижимых множеств портфелей как комбинации:

безрискового актива с рискованным активом;

двух рискованных активов;

трёх рискованных активов;

рискованных активов;

безрискового актива и рискованных активов;

рискованных активов и активов с фиксированной доходностью.

При анализе инвестиционных качеств перечисленных вариантов комбинаций активов будем полагать, что возможности инвестора ограничены собственным капиталом.

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и рискованный актив. На основании приведенных выше соотношений рассмотрим основные свойства портфеля, который состоит из безрискового актива и рискованного актива

где и – относительные объёмы инвестирования в безрисковый и рискованный активы соответственно; и – доходность и СКО доходности безрискового актива соответственно; и – МО и СКО доходности рискованного актива соответственно; – коэффициент корреляции доходностей безрискового и рискованного активов.

Поскольку в данном случае , СКО доходности безрискового актива равно нулю () по определению, а случайная и детерминированная величины всегда не коррелированны () получаем

После простых преобразований находим

Анализ соотношения (1.14) показывает, что зависимость МО доходности портфеля от СКО доходности является линейной (рис.1.2). Параметр является свободным членом в данной линейной зависимости, а отношение является тангенсом угла наклона прямой.