Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - страница 9

5. В 100-значном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т. д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

6. Докажите, что разность 9^>100– 7^>100 делится на 10.

1. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что красная фигура лежит где-то между синей и зеленой; непосредственно справа от желтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника, и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, какого цвета какая фигура. Укажите все возможные решения.

2. Найдите значение выражения Зх^>3 + 2х^>2 + х, если

3. Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, каждый со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города^ вылетает муха, пролетающая в час 120 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжает она свои полеты взад и вперед до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?

4. Школьник сказал своему приятелю Вите:

– У нас в классе семнадцать человек. И, представь, каждый из них дружит ровно с пятью одноклассниками.

– Не может этого быть, – сразу ответил Витя.

Почему он так решил?

5. Женю, Леву и Гришу рассадили так, что Женя мог видеть Леву и Гришу, Лева-только Гришу, а Гриша – никого. Потом из мешка, в котором лежали две белые и три черные шапки (содержимое мешка было известно мальчикам), достали и надели на каждого шапку неизвестного ему цвета, а две шапки остались в мешке (какие именно – мальчикам неизвестно).

Женя сказал, что он не может определить цвет своей шапки. Лева слышал ответ Жени и сказал, что и у него не хватает данных для определения цвета своей шапки. Мог ли Гриша на основании этих ответов определить цвет своей шапки? Если нет, то почему; если да, то как?

6. «То» да «это», да половина «того» да «этого» – сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?

1. На экзамене преподаватель предлагает студенту пять вопросов, на которые надо ответить «да» или «нет». Студент знает, что ответов «да» больше, чем «нет», и что преподаватель никогда не задает три вопроса подряд, требующие одинакового ответа. Из содержания первого и последнего вопросов ему ясно, что ответы на них должны быть противоположны. Единственный вопрос, ответ на который ему известен, – второй. И этот ответ – «нет». Какими должны быть ответы на эти пять вопросов?

2. В меню входят: овощной суп или бульон на первое, бифштекс, цыпленок или рыба на второе и компот или мороженое на третье. Полный обед состоит из одного блюда на первое, одного блюда на второе и одного блюда на третье.

а) Сколько может быть различных полных обедов?

б) Сколько может быть полных обедов с бифштексом в качестве второго?

3. Имеется девять монет, о которых известно, что восемь из них имеют одинаковый вес, а девятая несколько тяжелее остальных. Покажите, что более тяжелая монета может быть отделена от остальных посредством двух взвешиваний на чашечных весах (без гирь).