Немецкая философия. Философия времени в автопортретах. Том 3. Под редакцией д-ра Раймонда Шмидта - страница 5

Ситуация в арифметике схожа и в то же время несколько отличается от ситуации в логике. Сходство заключается в том, что и в арифметических пропозициях не (как учил, в частности, Милль) различные явления, а различные способы представления идентичных явлений представлены как обязательно связанные; различие же состоит в том, что возможность этих различных способов представления не основана, как там, на данном и неизменном устройстве мысли, а скорее на существовании намеренно введенного, но затем общепринятого и предположенного средства счета, а именно числовой линии. Эта числовая линия (как и ее предшественники и заменители: пальцы рук, палочка с зазубринами и т. д.) – не что иное, как мерило, с помощью которого мы измеряем и сравниваем различные группы явлений по их количеству точно так же, как мы измеряем и сравниваем другие объекты по их длине или весу с помощью метра или килограмма. Утверждение: здесь десять книг, следовательно, означает лишь то, что число этих книг равно числу звуков от «один» до «десять», или (согласно Фреге): эти книги могут быть попарно соединены с этими звуками без избытка; так же как утверждение: эта комната имеет длину iо метров, означает лишь то, что ее длина равна длине iо метровых палок, положенных друг на друга, и может быть приведена к совпадению с ними без избытка. Из этого положения вещей, однако, очень просто объясняется и оправдывается тот факт, что – и в какой степени мы приписываем необходимую и точную обоснованность предложениям чистой и прикладной арифметики. Ибо всякий раз, когда мы применяем произвольно определенный эталон к какому-либо объекту, мы можем аналитически и априорно судить о свойствах этого эталона самого по себе, но только синтетически и апостериорно о свойствах данных объектов, которые мы измеряем с его помощью, и снова аналитически и априорно об отношениях между различными способами выражения этих свойств в этом эталоне: Что нечто 1 м = 10 дм, мы знаем совершенно точно и с совершенной уверенностью; что данный предмет имеет длину 1 м, мы знаем только приблизительно; но что все предметы, имеющие длину i м, измеряются также io дм, мы опять-таки можем знать с совершенной точностью. Точно так же обстоит дело и с арифметикой. Чистая арифметика имеет дело исключительно со шкалой, то есть с рядом чисел как таковым; если она говорит, например, что 7 +5 = 12, то это означает только то, что звуков один, … семь, один, … пять столько же, сколько звуков один, … двенадцать, и она может быть совершенно уверена в этом, потому что это аналитически следует из расположения самосозданного, то есть совершенно известного и неизменного ряда чисел. Но если Кант полагал, что сталкивается здесь с синтетическим суждением, то он забыл включить универсально предполагаемый ряд чисел в понятия отдельных чисел.

В отличие от этой чистой арифметики, прикладная арифметика обращается к эмпирическим явлениям, причем делает это двумя способами. Во-первых, подсчитывая их, то есть соизмеряя их количество со шкалой, присутствующей в числовом ряду; при этом получается («это семь книг») синтетически-апостериорное суждение, претендующее лишь на фактическую обоснованность. И, во-вторых, применяя к опыту не только арифметические понятия, но и арифметические пропозиции, заключая, например, что поскольку 7 +5 = 12, то 7 +5 книг (или что-то еще) также должны быть = 12 книг. Здесь сознание аподиктичности вновь проявляется с полной очевидностью, но опять-таки мы имеем дело лишь с различными способами выражения идентичного факта в одной и той же шкале. Это одни и те же книги, которые мы можем считать как 7 +5 и как 12, то есть которые мы можем суммировать попарно с числовыми звуками один… семь, один… пять и с числовыми звуками один… двенадцать; но сосуществование этих двух возможностей аналитически вытекает из соответствующей чисто арифметической пропозиции и, таким образом, имеет то же доказательство, что и последняя. Это, как мне кажется, в основном решает проблему арифметической определенности; только расширение числового ряда путем введения отрицательных, дробных, иррациональных и мнимых чисел требует краткого комментария. Здесь, после признания неудовлетворительного характера логистического объяснения (стр. 9), будет трудно избежать отвлечений через геометрию; однако эти отвлечения можно критиковать только по эстетическим, но не по логическим соображениям. Ведь если уравнение действительно в чисто арифметическом смысле, то оно действительно, согласно сказанному выше, для любого объекта, а значит, и для отрезков абсцисс; но если оно действительно для них, то все, что можно вывести из него путем геометрических рассуждений, также действительно; и в той мере, в какой это опять-таки происходит в виде уравнений, приравнивающих друг к другу две числовые величины, оно может снова претендовать на чисто арифметическую действительность. Поэтому, при условии более тщательного изучения этих геометрических доказательств, арифметика должна быть признана аналитической наукой.