Если мы теперь обратимся к геометрии, то обнаружим ситуацию, которая в некоторых отношениях похожа на ту, что сложилась для логики и арифметики. Однако важное отличие состоит в том, что здесь в нашем распоряжении для объяснения нет «verae causae», таких как заданное устройство мысли или произвольно введенный стандарт, который мы применяем к опыту, но нам необходимо гипотетическое предположение о психологическом происхождении концепции пространства. Геометрия – это, в конце концов, наука о пространстве: чтобы понять, как возможны суждения об отношениях в этом пространстве, которые делаются с претензией на необходимую и точную обоснованность, мы должны прежде всего знать, что мы на самом деле подразумеваем под этим пространством и как мы приходим к знанию о нем. На эти вопросы, однако, непосредственное самовосприятие дает лишь неопределенный ответ; поэтому оно должно быть дополнено гипотезами, и я полагал (главным образом по психологическим причинам), что должен принять гипотезу Риля, согласно которой наше представление о пространстве изначально основано не более чем на опыте троякого качественного определения наших ощущений движения, которые могут быть произведены произвольно в любой степени (ограничиваясь лишь внешними запретами).
Вопрос о том, являются ли эти ощущения движения центральными или периферическими и вызываются ли они в последнем случае стимуляцией мышц, полукружных каналов или других органов, остается открытым; важно лишь то, что мы чувствуем что-то разное в зависимости от того, приводим ли мы наши конечности в движение вперед или назад, влево или вправо, наконец, вверх или вниз. Но если теперь встать на точку зрения этой гипотезы, то на факты геометрического мышления проливается удивительный свет. Прежде всего становится ясно, что (подобно тому как мы сводим множественность звуков в двухмерную систему, упорядоченную по высоте и силе) мы можем также прийти к упорядочению множественности ощущений движения в трехмерную систему, которую мы называем пространством и в которой каждое различие в составе комплекса ощущений движения представляется различием направления, каждое различие в мере того же самого – различием расстояния. Затем, однако, расчет показывает, что евклидовы аксиомы (дополненные и уточненные исследованиями Гельмгольца и Римана) могут быть выведены в целом (с учетом отдельных вопросов, еще требующих уточнения) как необходимые выводы из фактов, предположенных в этой гипотезе. В самом деле, можно показать, что везде, где n независимых переменных могут быть связаны совершенно свободно, т.е. в любых измерениях и любых соотношениях, обязательно возникают отношения, аналогичные тем, на которых Евклид основывает геометрию. Так, например, для двумерного множества тонов можно привести следующий аналог аксиомы прямой линии: если из тона, определяемого высотой и интенсивностью, получить две серии тонов постоянно возрастающей высоты и интенсивности таким образом, что отношение между увеличением числа колебаний в секунду и увеличением интенсивности колебаний в обоих случаях различно, но постоянно в каждом из них, то ни один тон первой серии не будет равен по высоте и интенсивности тону второй серии. Или для n-кратного определенного многообразия смеси n различных веществ следующий аналог той же аксиомы: Если к количественно определенной смеси n веществ постепенно добавлять из другой смеси, в которой те же вещества содержатся в определенной пропорции, и если в другой раз к той же исходной смеси постепенно добавлять из смеси, состоящей из тех же веществ в другой пропорции, то результат первого процесса ни в один момент времени не будет состоять в той же пропорции, в какой состоит результат второго процесса в любой момент времени.
