Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов - страница 3

Рис. 2.2

Точка А в результате деформации переместится в точку А_>1. Отрезок АА_>1 – удлинение среднего стержня Δℓ_>3. Отрезки АВ_>2 и АС_>2 – удлинения первого стержня ∆ℓ_>1 и второго – ∆ℓ_>2 соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ_>1, ∆ℓ _>2, ∆ℓ_>3 по закону Гука

Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А_>1АВ_>2 имеем:

АВ_>2 = АА_>1cosα или ∆ℓ_>1 = ∆ℓ_>3cosα

Подставляя значения ∆ℓ_>1 и ∆ℓ_>3 в это уравнение, получим:

Из треугольника АВД получаем ℓ_>3 = ℓ_>1cosα, тогда

Подставляем значение N_>1 в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F_>1 и F_>3 из условий:

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t_>1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t_>2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t_>1 до t_>2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

R_>A = R_>B

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ_>t. По законам физики

∆ℓ_>t = αℓ(t_>2 – t_>1),

где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину

∆ℓ_>RB = ∆ℓ_>t

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда R_>B = α×(t_>2-t_>1)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

Рис. 3.1

Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол α с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F_>0, площадь сечения mn обозначим F_>α. Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями S_>α. Для равновесия нижней части напряжения S_>α должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения S_>α равномерно распределены по площади сечения, найдем: S_>α·F_>α = P, отсюда