Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов - страница 5

Рис. 4.1

Рис. 4.2

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.

Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.

s_>αdA – σ_>zdA_>zcosα – σ_>ydA_>ysinα – τ_>zydA_>zsinα – τ_>yzdA_>ycosα = 0

τ_>αdA+ σ_>zdA_>zsinα – σ_>ydA_>ycosα – τ_>zydA_>zcosα + τ_>yzdA_>ysinα = 0

Учитывая, что dA_>z = 1dy = dAcosα, dA_>y = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:

σ_>α = σ_>zcos^>2α + σ_>ysin^>2α + τ_>zy sin2α

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.

τ_>max = ½(σ_>z – σ_>y)

Частный случай плоского напряженного состояния: при σ_>x = σ_>y τ_>α =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σ_>α = σ_>y = σ_>z = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.

При σ_>x = – σ_>y = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.

По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.

Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:

σ = σ_>xcos^>2α + σ_>ysin^>2α + τ_>xsin2α

τ = (σ_>x – σ_>y)sin2α – τ_>xcos2α

Преобразуем первое выражение:

σ = ½σ_>x(1 + cos2α) + ½σ_>y(1 – cos2α) + τ_>xsin2α

После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

τ = (σ_>x – σ_>y)sin2α – τ_>xcos2α

Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)^>2 + (y – b)^>2 = R^>2.

Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами

Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ