Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал - страница 21

Так формалисты хотели придать математическим аксиомам форму символических утверждений и установить правило вывода в качестве математических операций в этой системе. Рассел вместе с Уайтхедом разложили и описали такую формальную систему в трёхтомнике «Принципы математики», опубликованная в 1913, ставший монументальным трудом в 2000 страниц плотного математического текста, где на 762 странице приводится доказательство, что 1+1=2, после чего констатируется, что «приведённое выше приложение иногда оказывается полезным» («The above proposition is occasionally useful»). Они планировали написать 4-й том, но кажется судьбе это не было угодно, говоря более образно и приводя не плохой пример.

Всё дело в том, что хоть такие математические записи слишком непривычны, но они кратки и точны, чем обычный язык, не оставляя место ошибкам или нечёткой логике, позволяя описывать свойства самой формальной системы. И если такая возможность наконец появилась, то это самое время для исследования самой математики, поставив три основных вопроса:

1. Полнота математики, то есть возможно ли доказать любое истинное утверждение?

2. Непротиворечивость, то есть свободна ли математика от противоречий? Ведь если можно сказать, что А – истинно и что А – ложно, одновременно, значит можно доказать что угодно и пропадает всякий смысл в самой науке.

3. Разрешимость математики, то есть ли такой алгоритм, который сказал бы – следует ли какой-то вывод из аксиом?

Гильберт был убеждён, что на все три вопроса можно ответить положительно, произнеся пламенную речь на конференции 30-го года, завершив фразой: «Пусть нашим лозунгом будет не ignorabimus, что значит „мы не узнаем“, а нечто совершенно иное: „мы должны знать – мы будем знать!“», эти слова и были высечены на его надгробии, но за день до выступления, на той же конференции, 24 летний логик Курт Гёдель рассказывал о том, что смог найти ответ на первый вопрос Гильберта о полноте и на удивление ответ был полностью отрицательным.

Неужели невозможно полностью сформулировать математику? И единственным, кто проявил интерес к юноше был Джон фон Нейман – бывший студент Гильберта, задавая различные уточняющие вопросы, после чего на следующий 1931-й год Гёдель опубликовал статью о неполноте и все, вместе с Гильбертом после этого обратили на него и его доказательство внимание.

А доказательство выглядело следующим образом. Он хотел использовать логику и математику, чтобы найти ответы на вопросы о том, как работают, логика и математика, для чего он взял все знаки математической системы и присвоил каждому из них свой номер, приводя нумерацию Гёделя.

Его система демонстрируется в (3—17).

Но если потратить на каждый знак числа, то для самих чисел, к примеру для 0 присваивается цифра – 6, а если написать 1, пишется «s0», что значит «следующее за 0», для 2 – ss0 и так можно выразить любое целое число, хоть и громоздко. Итак, если для обозначения и чисел ввели показатели, то можно записать и уравнения, к примеру «0=0», эти значениям присваиваются цифры 6, 5, 6, соответственно, но для уравнения «0=0», можно создать свою карточку, взять простые числа с 2 и они возводятся в степень числа элемента по системе Гёделя, а затем они перемножаются.

Так уравнение «0=0», записывается в (18).

То есть, для уравнения «0=0», число Гёделя равно 243 000 000 и как можно видеть, подобные комбинации вполне можно получить для абсолютно любого уравнения, любой комбинации символов, и она словно бесконечная колода карт, где для любой комбинации существует персональная своя карта. А красота системы ещё заключается в том, что можно не только из уравнения получить число, но и из числа уравнение, для сравнения, можно взять любое число, попросту разложить его на простые множители, и в зависимости от степеней простых чисел получить уравнение.