Восхождение к вершине гиперкуба. Великая теорема Ферма для миллиардов обычных людей - страница 13
Давайте рассечем нашу фигуру из трёх вложенных друг в друга гиперкубов на равные гиперпирамиды, конкретно квадраты мы рассечем прямыми линиями на четыре треугольника, а кубы – на шесть совершенно одинаковых пирамид, как раз по числу граней.
Рис. 2.4. Рассечение гиперкуба. Случай двумерного пространства. Обратите внимание на уравнения x>2 = x>1 или привычнее y = x – это линяя под углом 45 градусов или биссектриса угла. Подумайте, как будут расположены точки на прямой, описываемой уравнением x>2 =-x>1
– А почему они будут одинаковы? – задумчиво спросил Борщов.
– Потому что каждая пирамида имеет одинаковую высоту, равную как раз половине ребра гиперперкуба и основания каждой пирамиды одновременно являются гранями гиперкуба, а в силу симметрии грани между собой конгруэнтны, проще говоря равны. Более того эти пирамиды правильные, их грани равны и боковые ребра равны, поскольку являются полудиагоналями гиперкуба, что составляет a * √n /2.
– Ага, вижу ….
Рис. 2.5. Рассечение гиперкуба. Случай трёхмерного пространства.
– Матвей, ты хочешь сказать, что эти пирамиды также вписаны друг в друга: большая, малая и средняя? – спросила его Татьяна.
– Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.
– Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! – предвосхитила с улыбкой Татьяна.
– Совершенно точно! – ответил Матвей. Все, что касается соотношения объёмов гиперкубов повторяется и для этих пирамид, но в силу симметрии мы можем сфокусироваться лишь на одной пирамиде, если хотите, называйте гиперпирамиде, но первое проще…
– Матвей, вдруг заговорил после небольшой паузы Борщов, – если Вы всё-таки склоняется нас в пользу геометрической наглядности, то не могли бы Вы сформулировать и саму Великую теорему в геометрической форме?
– С радостью! – ответил Матвей. Он перелистнул пару листов и наконец с расстановкой зачитал:
Формулировка теоремы Ферма в геометрической форме
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
В n-мерном пространстве объем a-Малого гиперкуба (объединение 1>n и последовательное наращивание k слоёв) прибавить объем b-Среднего гиперкуба (наращивание ещё l слоёв) образует объем c-Большого гиперкуба (ещё m слоёв). Ребра гиперкубов – целые числа. Все слои следуют последовательно и непрерывно, пронумерованы натуральными числами. Чтобы правая и левая часть уравнения Ферма были равны, необходимо соблюдение ряда условий:
с одной стороны:
центральная симметричность фигуры в виде трёх вложенных гиперкубов, непрерывность следования слоёв, их полное заполнение гиперкубиками
с другой стороны:
объём a-Малого гиперкуба равен объему множества точек между с-Большим и b-Средним гиперкубами.
При n> 2 эти условия являются взаимоисключающими и невыполнимы.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Легко убедиться на примере любой (обозначается как ∀) Пифагоровой тройки, что последнее условие, в случае такой тройки, выполняется в двумерном пространстве, т.е. для вписанных друг в друга квадратов. Формула теоремы Ферма – это аналог теоремы Пифагора, но в n-мерном пространстве. Если хотя бы Пифагорова тройка в n-мерном пространстве найдется, то Теорема Ферма и его уравнение будут опровергнуты.
– Пока все понятно, кроме слоя, что это такое? – спросил Борщов.
– Строго математически мы вводим определение слоя S как множества точек в n – мерном пространств, полученное в результате разности множеств точек вписанных друг в друга гиперкубов, с общей вершиной, рёбра которых отличаются на единицу, как на экзамене ответил Матвей (см. Рис 2.2.).
Похожие книги
